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Kapitel 8: Parität - Die Theorie der geraden Zahlen

Eine der wichtigsten Strategien in Othello ist das Prinzip der Parität, auch bekannt als even number theory. Bevor wir uns näher mit dieser Theorie beschäftigen, müssen wir den Begriff der Region näher definieren. Wie der Name bereits vermuten lässt, handelt es sich um einen freien Bereich auf dem Spielbrett, der normalerweise (jedoch nicht immer) eine Ecke beinhaltet, und der von anderen freien Spielfeldern abgegrenzt ist. Im Diagramm 8-1 sieht man auf dem Spielbrett vier voneinander getrennte Regionen: 3 Spielfelder links oben, 8 Spielfelder rechts oben, 3 Spielfelder rechts unten und 7 Spielfelder links unten.

Die Grundidee der Parität ist folgende: Gibt es eine Region mit einer geraden Anzahl freier Felder, ist es gewöhnlich besser, als letzter in diese Region zu spielen. du willst also, dass dein Gegner als erstes in diese Region setzt und du dann gleich nachsetzt, in der Hoffnung Spielsteine, die dein Gegner eben gewendet hat, wieder zurückzugewinnen. Im Diagramm 8-2 scheint es auf den ersten Blick, als wolle Schwarz als erstes setzen, die h1-Ecke nehmen und damit die 4 angrenzenden schwarzen Spielsteine sichern. Weiß würde dann den letzten Zug nach g1 setzen und Schwarz 37 Spielsteine lassen (Diagramm 8-3). Nehmen wir nun an, dass Weiß im Diagramm 8-2 am Zug ist. Weiß hat keine andere Wahl, als nach h1 zu spielen (Diagramm 8-4). Schwarz setzt den letzten Zug nach g1 (Diagramm 8-5). Wie man im Diagramm 8-5 sieht hat Schwarz nun 38 Spielsteine - einer mehr, als in Diagramm 8-3!

Vielleicht fragst du dich jetzt: "Ein Spielstein mehr oder weniger, was macht das schon?" Tatsache ist, dass, obwohl es so schien, Schwarz als erstes ziehen will, es besser wäre, wenn er als zweiter spielen könnte. In vielen Situationen, wie zum Beispiel im Diagramm 8-6, bedeutet der Unterschied, entweder zuerst oder zuletzt spielen zu können, den Unterschied zwischen Niederlage und Sieg.


Diagramm 8-1:	Diagramm 8-2:	Diagramm 8-3:
Weiß ist am Zug	Schwarz h1, Weiß g1


Diagramm 8-4:	Diagramm 8-5:	Diagramm 8-6:
Weiß h1	Schwarz g1

Diagramm 8-7 zeigt ein Beispiel der Parität in einer Region mit vier freien Feldern. Nehmen wir an, Schwarz ist am Zug (Diagramm 8-8). Schwarz hat keine andere Wahl, als nach b2 zu ziehen, worauf Weiß die a1 Ecke nimmt. Nun sind zwei freie Spielfelder übrig; natürlich muss Schwarz als erstes spielen und Weiß den letzten Zug und damit einen 33-31 Sieg überlassen. Wäre andererseits Weiß im Diagramm 8-7 am Zug, würde Schwarz 37-27 gewinnen. Wie diese Beispiele zeigen, hat Parität oft größere Auswirkungen auf eine Region mit 4 Feldern als auf eine Region mit 2 Feldern.

Wir haben in den eben genannten Beispielen nur die letzten Züge betrachtet. In einem Spiel, bei dem es nur mehr zwei freie Felder gibt, ist es zu spät, sich darüber Gedanken zu machen, als erster oder letzter setzen zu können. Außerdem ist dies eine Sache, die du dir ohnehin nicht aussuchen kannst! Die wirkliche Macht der Parität liegt früher - manchmal viel früher - im Spiel. Damit ist gemeint, dass es möglich ist, auf eine Art und Weise zu spielen, die dir den letzen Zug in die meisten oder in alle Regionen garantiert. Oft gibt es mehrere Regionen auf dem Spielbrett. Der kumulierte Vorteil, den letzten Spielzug in jede dieser Regionen zu setzen, kan


Diagramm 8-7:	Diagramm 8-8:	Diagramm 8-9:
	Schwarz zuerst	Weiß zuerst

Es zahlt sich wirklich oft aus, eine, zwei oder sogar alle Ecken aufzugeben, wenn dadurch garantiert wird, dass du den letzten Zug in jeder Region setzen kannst. Diagramm 8-10 zeigt eine Position aus dem Finale der Weltmeisterschaft 2001. Weiß scheint in erheblichen Schwierigkeiten zu stecken. Die a8-Ecke musste bereits aufgegeben werden und schlimmer noch, Weiß hat keine sicheren Züge mehr. Da Weiß am Zug ist, muss er nun eine weitere Ecke aufgeben. Trotzdem hat Weiß auf Grund der Parität einen leichten Vorteil in diesem Spiel! Wie man sieht, haben bis auf die rechte untere Region (3 freie Felder), alle Regionen eine gerade Anzahl freier Felder.


Diagramm 8-10:	Diagramm 8-11:	Diagramm 8-12:
Weiß ist am Zug	Schwarz ist am Zug	Perfektes Spiel

Weiß sollte beginnen, in die ungerade Region zu spielen, zum Beispiel g7 oder g8. In diesem Fall ist g7 wesentlich besser, da Weiß dadurch die untere Kante am Ende des Spiels nehmen kann (wenn das für dich nicht klar ist, versuche im Diagramm 8-10 g8 zu spielen, danach spiele die Zugfolge in Diagramm 8-12, anstelle des vierten Zuges g8, setze nach g7). Das Resultat sehen wir im Diagramm 8-11. Beachte, dass es nun in allen vier Regionen eine gerade Anzahl freier Felder gibt. Unglücklicherweise wird Schwarz (mit einer Ausnahme) das Spiel in jede der vier Regionen initiieren müssen. Gleichzeitig ist es leicht für Weiß, den richtigen Zug zu finden: Jedesmal, wenn Schwarz in eine gerade Region spielt, folgt ihm Weiß einfach, indem in die selbe Region gespielt wird.

Diagramm 8-12 zeigt perfektes Spiel beider Seiten (ich empfehle dir sehr, diese Zugfolge auf einem Speilbrett zu spielen). Beachte, wie Schwarz jedesmal in eine gerade Region spielt und dadurch eine ungerade Region für Weiß generiert. Weiß kann in fast allen Regionen den letzten Zug setzen. Nur bei den letzten beiden Feldern kann Weiß dazu gezwungen werden, in die gerade Region zu setzen, da Schwarz aussetzen muss. Weiß kann also von den letzten sieben Zügen sechs in eine ungerade Region setzen und durch diesen Vorteil einen 33-31 Sieg herausholen. In diesem Fall sprechen wir davon, dass Weiß durch Parität gewonnen hat oder, dass Weiß Parität hatte, da Weiß den letzen Zug in alle (oder fast alle) Regionen hatte.

Somit haben wir die Parität nur im Endspiel behandelt, aber sie kann auch früher im Spiel helfen, den richtigen Zug zu finden. Betrachten wir die Startposition vor dem ersten Zug. Das Brett hat 64 Felder, von denen 4 belegte und 60 freie Felder sind. In manchem Sinne können die 60 leeren Felder als eine große gerade Region betrachtet werden. Mit dem ersten Zug des Spiels setzt Schwarz in eine gerade Region, mit dem zwiten Zug setzt Weiß in eine ungerade Region (59 leere Felder), und so weiter. Also wirkt sich die Parität, von Beginn des Spiels an, günstig für Weiß aus. Wenn das Spiel ohne Passen verläuft, wird Weiß, mit Zug 60, den letzten Zug des Spiels bekommen.

Wir haben vorhin im Diagramm 8-6 gesehen, dass diejenige Seite, die als erste spielt, verlieren wird. Parität weist uns darauf hin, dass wenn bisher keiner der Spieler aussetzen musste, Schwarz am Zug sein muss, da es eine gerade Anzahl freier Felder gibt. Weiß kann nur dann am Zug sein, wenn ein Spieler genau ein mal passen musste (oder es eine ungerade Zahl an Aussetzern gab). Genauso ist es in Diagramm 8-11 kein Zufall, dass Schwarz am Zug ist.

Während die oben genannten Beispiele möglicherweise darauf hinweisen, dass Weiß mit einem großen Vorteil ins Spiel geht, gibt es Möglichkeiten für Schwarz, die Parität für sich nutzen zu können. Zum Beispiel zeigt das Diagramm 8-13 eine Position aus einem Spiel bei den Weltmeisterschaften 1982. Schwarz wurde von Kunihito Tanida aus Japan gespielt, der später das Turnier gewann. Bis zu diesem Zeitpunkt musste keiner der Spieler passen, die Anzahl der freien Felder ist gerade, was uns sagt, dass Schwarz am Zug ist. Beachte jedoch, dass es anstatt einer geraden Region, zwei ungerade Regionen gibt: Drei Felder bei der linken oberen Ecke und das Feld e1. Beachte außerdem, dass Weiß nicht nach e1 setzen kann. Dieser Umstand ermöglicht es Schwarz mit dem Zug nach b1 zu gewinnen (Diagramm 8-14)! Gemäß dem Prinzip der Parität sollte Weiß in die ungerade Region e1 setzen. In diesem Fall hat Weiß aber keinen Zugang zu dieser Region und muss darum in die gerade Region setzen. Weiß kann a1 spielen, Schwarz bekommt jedoch mit b2 den letzen Zug in diese Region. Das Resultat sehen wir im Diagramm 8-15.


Diagramm 8-13:	Diagramm 8-14:	Diagramm 8-15:
Schwarz ist am Zug	Weiß ist am Zug	Weiß setzt aus

Weiß hat immer noch keinen Zugang zu e1 und muss passen. Schwarz beendet das Spiel also selber mit dem Zug nach e1 und holt damit einen knappen 33-31 Sieg heraus (Diagramm 8-16). Da Schwarz den letzen Zug in jeder Region spielen konnte, sprechen wir davon, dass Schwarz Anti-Parität nutzte oder auch dass Schwarz Parität hatte.


Diagramm 8-16:	Diagramm 8-17:	Diagramm 8-18:
Schwarz gewinnt	Schwarz ist am Zug	Weiß setzt aus

Wieder ist die Schlüsseleigenschaft von Diagramm 8-13, die Schwarz gewinnen lässt, der fehlende Zugang von Weiß zu einer ungeraden (hier ist es ein Feld, e1) Region. Da die Gesamtzahl der Felder gerade ist, muss die Zahl der restlichen Felder auf dem Brett auch ungerade sein (in diesem Fall 3 Felder, a1, b1 und b2). Wenn Schwarz diese Situation beim Spiel in die restlichen Felder erhalten kann, wirkt die Parität zu seinem Vorteil. Schwarz wird den letzten Spielstein in die restlichen Felder setzen können und Weiß muss aussetzen. Schließlich wird Schwarz in die ungerade Region setzen, zu der Weiß keinen Zugang hat. Da Schwarz als erstes in diese ungerade Region spielt, setzt er auch den letzten Stein.

Diagramm 8-17 zeigt ein weiteres Beispiel des gleichen Prinzips, aber diesmal sind es 16 leere Felder. Weiß hat hier keinen Zugang zu der Region oben links, die aus neun leeren Feldern besteht. Obwohl es für Schwarz viele Wege zu Sieg gibt, ist die einfachste Strategie das Nutzen der Parität. Diese sagt uns, dass Schwarz die Region oben links unberührt lassen, und zuerst den Rest des Brettes füllen soll. Eine mögliche Zugfolge wird in Diagramm 8-18 gezeigt. Beachte, dass Schwarz den letzten Zug erhält, denn wenn man die Region oben links nicht mitzählt, bleibt eine ungerade Zahl leerer Felder (in diesem Fall sieben). Weiß setzt aus und Schwarz setzt als erster in die obere Region, wobei e1 offensichtlich das Startfeld ist. Und weil diese Region oben links aus einer ungeraden Zahl leerer Felder besteht, erhält Schwarz auch hier den letzten Zug, und gewinnt spielend.

Wie dieses Beispiel zeigt kann es für Weiß gefährlich sein, sich selbst den Zugang zu einer ungeraden Region zu versperren. Dies heißt jedoch nicht, dass Weiß die Erzeugung einer ungeraden Region immer vermeiden soll. Diagramm 8-19 zeigt eine Position, welche oft im Spiel erfahrener Spieler auftritt. Hier ist die beste Strategie für Weiß, die lange schwarze Mauer unberührt zu lassen und an die obere Kante nach c1 (Diagramm 8-20) oder d1 (Diagramm 8-21) zu spielen. Die Parität legt nahe, dass d1 besser als c1 wäre, da c1 eine Region mit 3 freien Feldern oben links erzeugen würde, in die weiß nicht spielen kann, während man mit d1 eine Region mit 4 freien Feldern erhält. Jedoch sagen uns Spielerfahrung und Computeranalysen, c1 ist tatsächlich einen Hauch besser als d1.

Untersucht man nur, wie die obere linke Ecke ausgespielt wird, so würden die meisten erfahrenen Spieler zustimmen, dass c1 der beste Zug ist. In diesem Fall scheint der daraus entstehende Vorteil groß genug zu sein, um die schwierige Position in der Ecke oben links zu meistern. Denke immer daran, die Grundstrategie von Othello ist es, dem Gegner die guten Zugmöglichkeiten zu nehmen. Wenn Weiß, in Diagramm 8-20, Schwarz out of moves bringen kann, so wird Schwarz gezwungen sein, früher als er wollte, in die Ecke oben links zu spielen. Damit wird sich die Parität wieder einmal positiv für Weiß auswirken.


Diagramm 8-19	Diagramm 8-20:	Diagramm 8-21:
Weiß ist am Zug	Schwarz ist am Zug	Schwarz ist am Zug

Hyperparität

Parität sagt, dass es gewöhnlich ein Nachteil ist in eine Region mit einer geraden Anzahl von freien Feldern zu spielen. Eine Möglichkeit der Absicherung, dass du nicht in eine gerade Region spielen musst ist, wenn du keine gültige Zugmöglichkeit in diese Region hast. Auch wenn du auf dem ganzen Brett keine weitere Zugmöglichkeit hast, so wirst du einfach aussetzen, und der Gegner wird als erster in diese Region setzen müssen. In Japan wird dies Hyperparität (engl. hyper even number theory) oder nur kurz Hyper genannt.

In Diagramm 8-22 muss Schwarz entweder a1 oder b1 spielen. In jedem Fall wird Weiß den größten Teil der oberen Kante einnehmen und das Spiel gewinnen. Diagramm 8-23 zeigt die gleiche Position, nur dass der Stein auf b2 nun schwarz ist. In diesem Fall hat Schwarz keine gültige Zugmöglichkeit und muss aussetzen. Dies zwingt Weiß als erster in diese Region zu setzen, nun kann Schwarz die meisten Steine der oberen Kante behalten und so das Spiel gewinnen. Dieser Unterschied ist die Grundidee der Hyperparität.


Diagramm 8-22:	Diagramm 8-23:	Diagramm 8-24:
Schwarz ist am Zug	Schwarz setzt aus	Schwarz ist am Zug

Diagramm 8-24 zeigt einen einfachen Weg, wie Schwarz eine Position aufbauen kann, die den Vorteil der Hyperparität nutzt. Hier sollte Schwarz mit h8 beginnen, wie in Diagramm 8-25 gezeigt. Wenn Weiß keinen Keil nach h7 setzt, so spielt Schwarz h7 mit seinem Nächsten Zug, bildet viele sichere Steine und gewinnt leicht. Also muss Weiß h7 spielen, die resultierende Position wird in Diagramm 8-26 gezeigt. Schwarz setzt nun aus, und Weiß muss als Erster in die Region oben rechts mit 4 freien Feldern spielen. Die perfekt gespielte Zugfolge wird in Diagramm 8-27 gezeigt; Schwarz erhält den letzten Zug, nimmt den größten Teil der rechten Kante ein und gewinnt das Spiel mit 36-28.


Diagramm 8-25:	Diagramm 8-26:	Diagramm 8-27:
Weiß ist am Zug	Schwarz setzt aus	Schwarz gewinnt


Diagramm 8-28:	Diagramm 8-29:	Diagramm 8-30:
Weiß ist am Zug	Schwarz setzt aus	Perfektes Spiel

Füttern des Gegners

Angenommen, in Diagramm 8-24 spielt Schwarz statt h8 nach h7, und erzeugt damit die in Diagramm 8-28 gezeigte Position. Nach der Parität sollte man, wie in Diagramm 8-29, in eine ungerade Region spielen. Jedoch muss Schwarz nun passen und Weiß muss als erstes in eine Region mit 4 Feldern spielen. Obwohl Weiß die Ecke einnehmen kann wird Schwarz mit perfektem Spiel 33-31 gewinnen (Diagramm 8-30).

Der einzige Weg, für Weiß in Diagramm 8-28 zu gewinnt, ist, er muss eine gültige Zugmöglichkeit für Schwarz in der 4-Felder-Region schaffen, damit schließlich Weiß den letzten Zug in diese Region erhält. Dies wird Fütterung des Gegners (engl. feeding the opponent) genannt. In diesem Fall sollte Weiß einen Zug von Schwarz erzwingen, indem er mit g1 anfängt (zu sehen in Diagramm 8-31). Egal wohin Schwarz als nächstes spielt, Weiß kann nun die Vorteile der Parität nutzen, indem er in die ungerade Region zieht, im Beispiel h8 (siehe Diagramme 8-32 und 8-33). Damit bleiben 2 leere Felder in der Region oben rechts und da Schwarz Zugang zu einem dieser Felder hat, erhält Weiß den letzten Zug in diese Region und gewinnt das Spiel mit 33-31.